Jeder GPS-Satellit sendet, wann sein Signal abgeschickt wurde und wo sich der Satellit dabei befand. Der Empfänger vergleicht Sende- und Ankunftszeit. Mit der Lichtgeschwindigkeit wird aus dieser Laufzeit eine sogenannte Pseudodistanz. Signale von mindestens vier Satelliten erlauben ihm, drei Raumkoordinaten und zugleich den Fehler seiner eigenen, weniger genauen Uhr zu bestimmen.
Damit wird ein winziger Zeitfehler zu einem großen räumlichen Fehler. Eine Mikrosekunde entspricht im Vakuum knapp 300 Metern Lichtweg. Die Atomuhren der Satelliten müssen deshalb nicht bloß gleichmäßig gehen. Ihr Takt muss zur gemeinsamen GPS-Zeit passen, obwohl sie sich schnell bewegen und sich weit oberhalb der Erdoberfläche befinden.
Warum gehen die Uhren im All anders?
Zwei relativistische Effekte wirken gegeneinander. Nach der speziellen Relativitätstheorie geht eine bewegte Uhr gegenüber einer ruhenden langsamer. Bei GPS macht die Geschwindigkeit der Satelliten etwa 7 Mikrosekunden pro Tag aus. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie gehen Uhren in schwächerer Gravitation schneller. In der GPS-Umlaufbahn beträgt dieser Beitrag etwa 45 Mikrosekunden pro Tag. Unter dem Strich würden die Satellitenuhren gegenüber Uhren auf der Erde rund 38 Mikrosekunden pro Tag gewinnen.
Unkorrigiert entspräche diese tägliche Zeitdifferenz mehr als elf Kilometern Lichtweg. Das ist nicht als exakt gleich großer Positionsfehler zu verstehen, denn eine Positionslösung verbindet mehrere Satelliten und weitere Fehlerquellen. Es zeigt aber die Größenordnung: Die angestrebte Genauigkeit von Metern wäre sehr schnell verloren.
Wo steckt die Korrektur?
GPS löst das Problem nicht mit einem einzigen nachträglichen Abzug. Die mittlere Wirkung von Geschwindigkeit und Gravitation ist als feste Frequenzverschiebung im System berücksichtigt. Die GPS-Spezifikation nennt dafür einen relativen Versatz von −4,4645 × 10−10. So erreicht der Takt in der vorgesehenen Umlaufbahn die für GPS-Zeit verlangte Rate.
Eine Satellitenbahn ist außerdem nicht vollkommen kreisförmig. Geschwindigkeit und Gravitationspotential ändern sich geringfügig entlang der Bahn. Deshalb enthält IS-GPS-200N zusätzlich eine periodische Relativitätskorrektur. Der Empfänger berechnet sie aus den übertragenen Bahndaten und verbindet sie mit den ebenfalls gesendeten Korrekturkoeffizienten der Satellitenuhr.
Einstein ist im GPS also kein philosophischer Schmuck. Seine Theorien stecken in der Skala, auf der die Uhren geführt werden, und in den Rechenschritten, mit denen aus Signallaufzeiten ein Ort wird. Satellit und Empfänger müssen sich nicht auf eine naive, überall identische Sekunde verlassen. Sie müssen präzise berechnen, wie ihre unterschiedlichen Sekunden zusammengehören.
Quellen
National Institute of Standards and Technology, Putting Einstein to the Test
Neil Ashby und Marc A. Weiss, Global Positioning System Receivers and Relativity, NIST Technical Note 1385 (1999)
U.S. Space Force / U.S. Coast Guard Navigation Center, IS-GPS-200N: Navstar GPS Space Segment/Navigation User Interfaces (2022)